Производится 6 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.4. Составить ряд распределения числа попаданий в цель, найти числовые характеристики. Определить вероятность поражения цели, если для этого достаточно пяти попаданий.
Решение
Случайная величина Х может принимать значения
x_0=0, x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4, x_5=5, x_6=6
Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события A постоянна и равна p, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие A осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле
P_n (m)=C_n^m∙p^m∙q^(n-m)
где C_n^m — число сочетаний из n элементов по m.
Для данного случая
n=6; m=0,1,2,3,4,5,6;p=0,4; q=1-p=0,6.
P(x=0)=P_0=C_6^0∙p^0∙q^6=1∙〖0,4〗^0∙〖0,6〗^6=0,0467
P(x=1)=P_1=C_6^1∙p^1∙q^5=6∙〖0,4〗^1∙〖0,6〗^5=0,1866
P(x=2)=P_2=C_6^2∙p^2∙q^4=15∙〖0,4〗^2∙〖0,6〗^4=0,311
P(x=3)=P_3=C_6^3∙p^3∙q^3=20∙〖0,4〗^3∙〖0,6〗^3=0,2765
P(x=4)=P_4=C_6^4∙p^4∙q^2=15∙〖0,4〗^4∙〖0,6〗^2=0,1382
P(x=5)=P_5=C_6^5∙p^5∙q^1=6∙〖0,4〗^5∙〖0,6〗^1=0,0369
P(x=6)=P_6=C_6^6∙p^6∙q^0=1∙〖0,4〗^6∙〖0,6〗^0=0,0041
Ряд распределения имеет вид:
x 0 1 2 3 4 5 6
p 0,0467 0,1866 0,311 0,2765 0,1382 0,0369 0,0041
∑_(i=0)^6▒p_i =0,0467+0,1866+0,311+0,2765+0,1382+
+0,0369+0,0041=1
Найдем числовые характеристики.
Математическое ожидание M(X) равно:
M(X)=∑_(i=0)^6▒〖x_i∙p_i 〗=0∙0,0467+1∙0,1866+2∙0,311+3∙0,2765+
+4∙0,1382+5∙0,0369+6∙0,0041=2,4
M(X^2)=∑_(i=0)^6▒〖〖x_i〗^2∙p_i 〗=0^2∙0,0467+1^2∙0,1866+2^2∙0,311+
+3^2∙0,2765+4^2∙0,1382+5^2∙0,0369+6^2∙0,0041=7,2
Дисперсия D(X) равна:
D(X)=M(X^2)-〖(M(X))〗^2=7,2-〖2,4〗^2=1,44
Среднее квадратическое отклонение σ(X) равно
σ(X)=√(D(X) )=√1,44=1,2
Вероятность поражения цели, если для этого достаточно пяти попаданий:
P(A)=P(x=5)+P(x=6)=0,0369+0,0041=0,041